Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其左、右焦點為F1、F2，點P是坐標平面內一點，且其中O為坐標原點。

（I） 求橢圓C的方程；

（II） 如圖，過點S（0，}，且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）

（2）在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，

點M的坐標為（0，1）。

【解析】

（1）利用；（2）直線方程與橢圓方程，聯立方程組并借助于韋達定理，求點的坐標.

解:(1)設，,① ……1分

又,，即② ……2分

①代入②得：. 又故所求橢圓方程為……4分

(2)設直線，代入，有.

設，則. ……6分

若軸上存在定點滿足題設，則，，

……9分

由題意知，對任意實數都有恒成立， ……10分

即對成立.

解得， ……11分

在軸上存在定點,使以為直徑的圓恒過這個定點. ……12分