Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點．
（1）求證：CD⊥PD；
（2）求證：EF∥平面PAD；
（3）當平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？

Answer 1

分析：（1）根據題意可得：PA⊥CD，又由于CD⊥AD，利用線面垂直的判定定理可知CD⊥平面PAD，再利用線面垂直的定義可知CD⊥PD；
（2）取PD中點M，連接FM，AM，所以FM∥CD，FM=

1

2

CD，并且AE∥CD，AE=

1

2

CD，可得AEFM是平行四邊形，所以EF∥AM，再利用線面平行的判定定理即可證明．
（3）取CD中點G，連接FG，EG，可得EG⊥CD，所以FG⊥CD，所以可得∠FGE為二面角P-CD-A的平面角，進而利用解三角形的有關知識解決問題即可．

解答：證明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵CD⊥AD，CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PD．（4分）
（2）取PD中點M，連接FM，AM，
∵F為PC中點
∴FM∥CD，FM=

1

2

CD
∵E為AB中點，ABCD為矩形，
∴AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴AE∥FM，AE=FM，
∴AEFM是平行四邊形，
∴EF∥AM，
∵AM?平面PAD，
∴EF∥平面PAD，（8分）
解：（3）取CD中點G，連接FG，EG
∵E，G為矩形ABCD中AB，CD中點，
∴EG⊥CD．
∵F，G為PC，CD中點，
∴FG∥PD，FG=

1

2

PD，
∵PD⊥CD，
∴FG⊥CD．
∴∠FGE為二面角P-CD-A的平面角
∵∠PAD=90°，M為PD中點，
∴EF=AM=

1

2

AD，
∴EF=FG
又∵FG⊥CD，EG⊥CD，FG∩EG=G，
∴CD⊥平面EFG，
∵EF?平面EFG，
∴CD⊥EF，
∵FG?面PCD，CD?面PCD，FG∩CD=G，
∴當EF⊥FG即∠EFG=90°時，EF⊥面PCD，此時∠FGE=45°（12分）

點評：本題考查證明線面平行以及線線垂直的判定定理，并且也考查求二面角的平面角的有關知識，找出二面角的平面角是解題的難點和關鍵．