Question

如圖OPQ是半徑為

2

，圓心角為

π

4

的扇形，ABCD是扇形OPQ的內接距形，A，B在OP上，點D在OQ上，點C在弧PQ上，記∠POQ=θ；
（Ⅰ）用含θ的式子表示AB的長；
（Ⅱ）記距形ABCD的面積為f（θ），求f（θ）的單調區間和最大值．

Answer 1

考點：已知三角函數模型的應用問題

專題：綜合題,三角函數的求值

分析：（Ⅰ）求出OB，OA，即可用含θ的式子表示AB的長；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（θ）=|AB||BC|=（

2

cosθ-

2

sinθ）

2

sinθ，先化簡，再求f（θ）的單調區間和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由∠POC=θ，ABCD為矩形，OC=

2

得AD=BC=

2

sinθ，OB=

2

cosθ
又∠POQ=45°，∴OA=AD=

2

sinθ，
∴|AB|=

2

cosθ-

2

sinθ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（θ）=|AB||BC|=（

2

cosθ-

2

sinθ）

2

sinθ，
=sin2θ-1+cos2θ=

2

sin（2θ+

π

4

）-1，θ∈（0，

π

4

），
∵θ∈（0，

π

4

），
∴2θ+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴θ∈（0，

π

8

）時，y=f（θ）為增函數；θ∈（

π

8

，

π

4

）時，y=f（θ）為減函數；
∴y=f（θ）的增區間為（0，

π

8

），減區間為（

π

8

，

π

4

），
∴f（θ）_max=f（

π

8

）=

2

-1．

點評：本題考查三角函數模型的應用問題，考查學生分析解決問題的能力，確定三角函數的模型是關鍵．