Question

已知數列滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，（n∈N^*），若b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1），b₁=-λ，且數列{b_n}是單調遞增數列，則實數λ的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的函數特性

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，（n∈N^*），兩邊取倒數可得

1

an+1

=

2

an

+1，化為

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，利用等比數列的通項公式可得

1

an

+1=2n，
于是b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，由于b₁=-λ，且數列{b_n}是單調遞增數列，可得b_n+1＞b_n，解出即可．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an

an+2

，（n∈N^*），
∴

1

an+1

=

2

an

+1，化為

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，
∴數列{

1

an

+1}是等比數列，首項為

1

a1

+1=2，公比為2，
∴

1

an

+1=2n，
∴b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∵b₁=-λ，且數列{b_n}是單調遞增數列，
∴b_n+1＞b_n，
∴（n-λ）•2ⁿ＞（n-1-λ）•2^n-1，
化為λ＜n+1，
∵數列{n+1}為單調遞增數列，
∴λ＜2．
∴實數λ的取值范圍為λ＜2．
故答案為：λ＜2．

點評：本題考查了變形利用等比數列的通項公式的方法、單調遞增數列，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．