Question

（2012•綿陽二模）已知函數f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0）
（I）若直線l₁交函數f（x）的圖象于P，Q兩點，與l₁平行的直線l₂與函數f（x）的圖象切于點R，求證 P，R，Q三點的橫坐標成等差數列；
（II）若不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（III）求證：

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

44

+…+

lnn

n4

＜

1

e

〔其中n≥2，n∈N^*，e為自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0），知f′（x）=-4x+4，設切點R（x₀，y₀）則kl1=kl2=-4x₀+4．由此入手能夠證明P、R、Q三點的橫坐標成等差數列．
（Ⅱ）由f （x）+g（x）-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，令F（x）=2x²-alnx（x＞0），則F′(x)=4x-

a

x

=

4x2-a

x

．由F′（x）=0，得x=

2

2

．由此利用不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，能求出實數a的取值范圍．
（Ⅲ）由（2）知當a=2e時，2x²-2elnx≥0，得

lnx

x4

≤

1

e

•

1

x2

，由此能夠證明

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

44

+…+

lnn

n4

＜

1

e

．

解答：（Ⅰ）證明：∵函數f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0），
∴f′（x）=-4x+4，設切點R（x₀，y₀）
則kl1=kl2=-4x₀+4．
令l₂：y=（-4x₀+4）x+b．
聯立

y=(-4x0+4)x+b y=-2x2+4x

，消去y得 2x²-4x₀x+b=0．
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=2x₀，
即P、R、Q三點的橫坐標成等差數列．  （4分）
（Ⅱ）解：由已知有f （x）+g（x）-4x=-2x²+alnx≤0恒成立，
令F（x）=2x²-alnx（x＞0），
則F′(x)=4x-

a

x

=

4x2-a

x

．
由F′（x）=0，得x=

2

2

．
當0＜x＜

2

2

時，F′（x）＜0，F（x）在區間（0，

a

2

）上遞減；
當x＞

a

2

時，F′（x）＞0，F（x）在區間（

a

2

，+∞）上遞增．
∴F_min=F（

a

2

）=

a

2

-aln

a

2

≥0，得0＜a≤4e．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當a=2e時有2x²-2elnx≥0，得

lnx

x4

≤

1

e

•

1

x2

，
∴

ln2

24

+

ln3

34

+

ln4

44

+…+

lnn

n4

≤

1

e

(

1

22

+

1

3 2

+

1

42

+…+

1

n2

)
＜

1

e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

)
=

1

e

(1-

1

n

)＜

1

e

．  （14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．