Question

已知點P（

1

2

，0）和圓Q：4x²+4x+4y²=0，圓E過點F且與圓Q內切，求圓心E的軌跡．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：化圓的一般式為標準式，求出圓心和半徑，利用點P（

1

2

，0）和圓Q：4x²+4x+4y²=0，圓E過點P且與圓Q內切，可得|EP|-|EQ|=

1

2

＜1，從而圓心E的軌跡G是以P，Q為焦點的雙曲線的左支，且2a=

1

2

，c=

1

2

，求出b，即可求出圓心E的軌跡G的方程．

解答： 解：設動圓圓心的坐標為（x，y），由4x²+4x+4y²=0得：（x+

1

2

）²+y²=

1

4

，
圓心為Q（-

1

2

，0），半徑為

1

2

．
∴點P（

1

2

，0）和圓Q：4x²+4x+4y²=0，圓E過點P且與圓Q內切，
∴|EP|-|EQ|=

1

2

＜1，
∴圓心E的軌跡G是以P，Q為焦點的雙曲線的左支，且2a=

1

2

，c=

1

2

，
∴a=

1

4

，b=

3

4

，
∴圓心E的軌跡G的方程為

x2

1 16

-

y2

3 16

=1（x＜0）．

點評：本題考查了軌跡方程，解答的關鍵是確定圓心E的軌跡G是以P，Q為焦點的雙曲線的左支，考查了學生的運算能力，是中檔題．