Question

已知函數.
(1當 時， 與)在定義域上單調性相反，求的 的最小值。
（2）當時，求證：存在，使的三個不同的實數解，且對任意且都有.

Answer 1

(1) 1，(2)詳見解析.

試題分析：(1)利用導數求函數單調性，注意考慮函數定義域. 兩個函數的單調性可以從可以確定的函數入手.因為當時，；當時，對恒成立，所以，對恒成立，所以，在上為增函數。根據和在定義域上單調性相反得，在上為減函數，所以對恒成立，即：，所以因為，當且僅當時，取最大值.所以，此時的最小值是，-(2)運用函數與方程思想，方程有三個不同的解，實質就是函數與有三個不同的交點 ，由圖像可知在極大值與極小值之間. 證明不等式，需從結構出發，利用條件消去a,b，將其轉化為一元函數：，從而根據函數單調性，證明不等式.
解析：(1)因為        2分。
當時，；當時，對恒成立，
所以，對恒成立，所以，在上為增函數。
根據和在定義域上單調性相反得，在上為減函數，所以對恒成立，即：，所以因為，當且僅當時，取最大值.所以，此時的最小值是，      6分
(2)因為當時，，且一元二次方程的，所以有兩個不相等的實根     8分
當時，為增函數；
當時，為減函數；
當時，為增函數；
所以當時，一定有3個不相等的實根，，
分別在內，不妨設，因為，所以即即
即所以
所以
，令，則
由（1）知在上為減函數，又
所以當，又
所以即       16分