Question

【題目】對于函數定義已知偶函數的定義域為當且時，

（1）求并求出函數的解析式；

（2）若存在實數使得函數在上的值域為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），， （2）

【解析】

（1）按的規律，逐步計算觀察發現對任意的，有 從而求出，由是偶函數可求得函數的解析式；

（2）由題意可知在上遞減且，分和兩種情況討論，在時得出推出矛盾，在時可將問題轉化為是方程的兩個不相等的負實數根，轉化為一元二次方程有兩個不相等的負根，由根與系數的關系列出不等式組求出的取值范圍

（1）因為

故

故對任意的，有

于是

故當時，

又，故當時，

由為偶函數，當時，

因此，，即；

（2）由于的定義域為，

又可知與b同號，且，

函數的圖象，如圖所示

若，則在上單調遞增，有，

所以，解得，不符合題意，舍去；

若，則在上單調遞減，由題意，有

故是方程的兩個不相等的負實數根，即方程在上有

兩個不相等的實根，于是

綜合上述，實數的取值范圍為