Question

在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(φ為參數),曲線C2的參數方程為(a>b>0,φ為參數),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線l:θ=α與C1,C2各有一個交點.當α=0時,這兩個交點間的距離為2,當α=時,這兩個交點重合.

(1)分別說明C1,C2是什么曲線,并求出a與b的值.

(2)設當α=時,l與C1,C2的交點分別為A1,B1,當α=-時,l與C1,C2的交點為A2,B2,求四邊形A1A2B2B1的面積.

 

Answer 1

(1) C1是圓,C2是橢圓. a=3 b=1 (2)

【解析】(1)C1是圓,C2是橢圓.

當α=0時,射線l與C1,C2交點的直角坐標分別為(1,0),(a,0),因為這兩點間的距離為2,a>0,所以a=3.當α=時,射線l與C1,C2交點的直角坐標分別為(0,1),(0,b),因為這兩點重合,所以b=1.

(2) C1,C2的普通方程分別為x2+y2=1和+y2=1.

當α=時,射線l與C1交點A1的橫坐標為x=,與C2交點B1的橫坐標為x'=.

當α=-時,射線l與C1,C2的兩個交點A2,B2分別與A1,B1關于x軸對稱,因此,四邊形A1A2B2B1為梯形.

故四邊形A1A2B2B1的面積為=.