Question

【題目】在平面直角坐標系中，設橢圓（）的離心率是e，定義直線為橢圓的“類準線”，已知橢圓C的“類準線”方程為，長軸長為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P在橢圓C的“類準線”上（但不在y軸上），過點P作圓O：的切線l，過點O且垂直于的直線l交于點A，問點A是否在橢圓C上？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，證明見解析.

【解析】

（1）由題意列關于a，b，c的方程，聯立方程組求得，，，則橢圓方程可求；

（2）設（），當時和時，求出A的坐標，代入橢圓方程驗證知，A在橢圓上，當時，求出過點O且垂直于的直線與橢圓的交點，寫出該交點與P點的連線所在直線方程，由原點到直線的距離等于圓的半徑說明直線是圓的切線，從而說明點A在橢圓C上.

（1）由題意得：，，又，

聯立以上可得：，，.∴橢圓C的方程為；

（2）如圖，由（1）可知，橢圓的類準線方程為，不妨取，

設（），則，

∴過原點且與垂直的直線方程為，

當時，過P點的圓的切線方程為，

過原點且與垂直的直線方程為，聯立，解得：，

代入橢圓方程成立；

同理可得，當時，點A在橢圓上；

當時，聯立，

解得，，

所在直線方程為.

此時原點O到該直線的距離，

∴說明A點在橢圓C上；同理說明另一種情況的A也在橢圓C上.

綜上可得，點A在橢圓C上.