Question

已知在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，點D的極坐標是，曲線C的極坐標方程為．
（I）求點D的直角坐標和曲線C的直角坐標方程；
（II）若經過點D的直線l與曲線C交于A、B兩點，求|DA|•|DB|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，先將原極坐標方程兩邊同乘以ρ后化成直角坐標方程．
（2）先寫出直線l的參數方程，將|DA|•|DB|利用參數的幾何意義，結合一元二次方程根與系數的關系求解即可．
解答：解：（I）點D的直角坐標是（0，-1），（2分）
∵，∴ρ=ρcosθ+2，即x²+y²=（x+2）²，（4分）
化簡得曲線C的直角坐標方程是y²=4x+4（5分）
（II）設直線l的傾斜角是α，則l的參數方程變形為，（7分）
代入y²=4x+4，得t²sin²α-（4cosα+2sinα）t-3=0
設其兩根為t₁，t₂，則，（8分）
∴．
當α=90°時，|DA|•|DB|取得最小值3．（10分）
點評：本題考查點的極坐標和直角坐標的互化和直線的參數方程的應用，屬于基礎題．