Question

【題目】已知函數與的圖象在點處有相同的切線．

（Ⅰ）若函數與的圖象有兩個交點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若函數有兩個極值點， ，且，證明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）證明過程見解析；

【解析】（Ⅰ）首先根據兩函數在某點處有相同的切線，建立關于兩函數解析式中參數的方程，求得兩函數的解析式，再由題意構造新函數，將問題轉化為新函數的單調性與最值問題進行求解；（Ⅱ）由題意，可將問題轉化為其導數的兩個根，再根據其函數的單調性，從而證明不等式立.

試題解析：（Ⅰ）因為， ，根據題意，得解得

所以．　

設，則，

當時， ，當時， ，

所以，

又因為→時， →；當→時， →，

故欲使兩圖象有兩個交點，只需， ，

所以實數的取值范圍為.

（Ⅱ）由題意，函數，其定義域為，

，

令，得，其判別式，

函數有兩個極值點， ，等價于方程在內有兩不等實根，又，故．

所以，且， ，

，

令， ，

則，

由于，∴，故在上單調遞減．

故．

所以，

所以．