Question

【題目】已知橢圓的離心率，右焦點，過點的直線交橢圓于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點關于軸的對稱點為 ，求證: 三點共線；

(3) 當面積最大時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析;(3) .

【解析】試題分析：(1)根據離心率可求得的值，從而可求得的值，進而可得結果；(2) 設，只需用平面向量坐標法證明即可得結論；（3）設直線的方程為，根據韋達定理、弦長公式、三角形面積公式將面積表示為關于的函數式，換元后根據配方法求最值，取得最值時可以確定的值，進而可得結果.

試題解析：(1) 由， 橢圓的方程是.

(2)由（1）可得，設直線的方程為. 由方程組，得，依題意，

得.設，則，由

，得三點共線.

(3)設直線的方程為. 由方程組，得，依題意，得.設，則

，令，則，即

時， 最大， 最大時直線的方程為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用配方法法求三角形最值的.