Question

（2006•東城區三模）對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f（x）與g（x），如果對于任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的．若函數y=x²-2x+3與函數y=3x-2在區間[m，n]上是接近的，給出如下區間①[1，4]②[1，3]③[1，2]∪[3，4]④[1，

3

2

]∪[3，4]，則區間[m，n]可以是

③、④

．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

分析：根據題中的新定義可知，若函數y=x²-2x+3與函數y=3x-2在區間[m，n]上是接近的，得兩函數解析式之差的絕對值小于等于1，分兩種情況分別求出兩不等式的解集，然后求出兩解集的交集即可求出x的取值范圍即為新定義中的區間，然后再對①②③④進行判斷；

解答：解：根據函數y=x2-3x+4與函數y=2x-3在區間[a，b]上是接近的，
可得：|（x²-2x+3）-（3x-2）|≤1，
即x²-5x+4≤0…①
x²-5x+6≥0…②，
由①得：（x-1）（x-4）≤0，解得：1≤x≤4；
由②得：（x-2）（x-3）≥0，解得：x≥3或x≤2
綜上，x∈[1，2]∪[3，4]．
∵①[1，4]?[1，2]∪[3，4]；
②[1，3]]?[1，2]∪[3，4]；
③[1，2]∪[3，4]]=[1，2]∪[3，4]；
④[1，

3

2

]∪[3，4]⊆[1，2]∪[3，4]；
∴區間[m，n]可以是③、④
故答案為③、④

點評：此題考查學生掌握新定義并靈活運用新定義化簡求值，是一道綜合題，解題的關鍵還是要正確求解絕對值不等式