Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點.

（1）證明：直線 平面PAB；

（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取PA的中點F，連接EF，BF，通過證明CE∥BF，利用直線與平面平行的判定定理證明即可；
（2）利用已知條件轉化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解二面角MABD的余弦值即可．

（1）證明：取PA的中點F，連接EF，BF，

因為E是PD的中點，
所以，∠BAD＝∠ABC＝90°，

∴，
∴BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，BF平面PAB，平面PAB，
∴直線CE∥平面PAB；
（2）解：四棱錐PABCD中，
側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，
∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點．
取AD的中點O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，

設AD＝2，則AB＝BC＝1，OP＝，
∴∠PCO＝60°，直線BM與底面ABCD所成角為45°，
可得：BN＝MN，，BC＝1，
可得：，
作NQ⊥AB于Q，連接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角MABD的平面角，MQ＝，
二面角MABD的余弦值為：．