Question

下列說法：
①函數y=log

1

2

(x2-2x-3)的單調增區間是（-∞，1）；
②若函數y=f（x）定義域為R且滿足f（1-x）=f（x+1），則它的圖象關于y軸對稱；
③函數f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的值域為（-1，1）；
④函數y=|3-x²|的圖象和直線y=a（a∈R）的公共點個數是m，則m的值可能是0，2，3，4；
⑤若函數f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零點，則實數a的取值范圍是[

5

，3]．
其中正確的序號是

③④⑤

．

Answer 1

分析：根據當x=0時，函數的解析式無意義可判斷①；根據函數對稱性，可得函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，可判斷②；畫出函數f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的圖象，結合函數圖象分析出函數的值域，可判斷③；畫出函數y=|3-x²|的圖象，可分析出函數y=|3-x²|的圖象和直線y=a（a∈R）的公共點個數，可判斷④；根據二次函數的圖象和性質分析出函數f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在x∈[1，3]上有零點，實數a的取值范圍，可判斷⑤．

解答：解：當x=0時，x²-2x-3=-3，此時log

1

2

(x2-2x-3)無意義，故①錯誤；
若函數y=f（x）滿足f（1-x）=f（x+1），則函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，故②錯誤；
畫出函數f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）的圖象如圖，由圖可得函數的值域為（-1，1）；
畫出函數y=|3-x²|的圖象，由圖可知，函數y=|3-x²|的圖象和直線y=a公共點可能是0，2，3，4個，故④正確
若f（x）在x∈[1，3]上有零點，則f（x）=0在x∈[1，3]上有實數解
∴2a=x+

5

x

在x∈[1，3]上有實數解
令g（x）=x+

5

x

則g（x）在[1，

5

]單調遞減，在（

5

，3]單調遞增且g（1）=6，g（3）=

14

3

，∴2

5

≤g（x）≤6，即2

5

≤2a≤6，故

5

≤a≤3故⑤正確
故答案為：③④⑤

點評：本題考查的知識點是復合函數的單調性，函數的對稱性，函數的值域，函數圖象的交點，函數的零點，是函數內容的綜合應用，難度中檔．