Question

【題目】設函數的定義域為，值域為，如果存在函數，使得函數的值域仍是，那么稱是函數的一個等值域變換.

（1）判斷下列函數是不是函數的一個等值域變換？說明你的理由；

①；

②.

（2）設的定義域為，已知是的一個等值域變換，且函數的定義域為，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）①不是等值域變換，②是等值域變換； （2）.

【解析】試題分析：（1）運用對數函數的值域和基本不等式，結合新定義即可判斷①；運用二次函數的值域和指數函數的值域，結合新定義即可判斷②；
（2）利用f（x）的定義域，求得值域，根據x的表達式，和t值域建立不等式，利用存在t1，t2∈R使兩個等號分別成立，求得m和n．

試題解析：

（1）①，x>0，值域為R，

,t>0,由g(t)2可得y=f[g(t)]的值域為[1,+∞).

則x=g(t)不是函數y=f(x)的一個等值域變換；

②，即的值域為，

當時， ，即的值域仍為，所以是的一個等值域變換，故①不是等值域變換，②是等值域變換；

（2）定義域為，因為是的一個等值域變換，且函數的定義域為， 的值域為，

，

恒有，解得.