Question

21.

    某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p₁，壽命為2年以上的概率為p₂.從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換.

   （Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；

   （Ⅱ）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；

   （Ⅲ）當p₁=0.8，p₂=0.3時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數字）.

Answer 1

21.本小題主要考查概率的基礎知識和運算能力，以及運用概率的知識分析和解決實際問題能力.

解：（I）在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為需要更換2只燈泡的概率為

（II）對該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1-p₁）²；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p₁(1-p₂)，故所求的概率為

（III）至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為p⁵（其中p為（II）中所求，下同）換4只的概率為（1-p），故至少換4只燈泡的概率為