Question

（2009•上海模擬）已知點列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）順次為直線y=

x

4

上的點，點列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）順次為x軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對任意的n∈N*，點A_n、B_n、A_n+1構成以B_n為頂點的等腰三角形．
（1）證明：數列{y_n}是等差數列；
（2）求證：對任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常數，并求數列{x_n}的通項公式；
（3）對上述等腰三角形A_nB_nA_n+1添加適當條件，提出一個問題，并做出解答．（根據所提問題及解答的完整程度，分檔次給分）

Answer 1

分析：（1）根據B_n（n，y_n）在直線y=

x

4

上可得yn=

n

4

，然后根據等差數列的定義可知數列{y_n}是等差數列；
（2）由題意得

xn+xn+1

2

=n，則x_n+x_n+1=2n，根據遞推關系又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）兩式作差可得x_n+2-x_n是常數，從而x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差數列，即可求出數列{x_n}的通項公式；
（3）提出問題：若等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否有直角三角形，若有，求出實數a．討論n的奇偶，求出|A_nA_n+1|，過B_n作x軸的垂線，垂足為C_n，則|BnCn|=

n

4

，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1為直角三角形，必須且只須：|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|，從而求出a的值．

解答：解：（1）依題意有yn=

n

4

，于是yn+1-yn=

1

4

．
所以數列{y_n}是等差數列．（4分）
（2）由題意得

xn+xn+1

2

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*）         ①
所以又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）．②
由②-①得：x_n+2-x_n=2，所以x_n+2-x_n是常數．　　　　　　　（6分）
由x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差數列．x₁=a（0＜a＜1），x₂=2-a，那么得 
 x_2k-1=x₁+2（k-1）=2k+a-2，x_2k=x₂+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N^*）（8分）
故xn=

n+a-1 (n為奇數) n-a (n為偶數)

（10分）
（3）提出問題：若等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否有直角三角形，若有，求出實數a．
解：當n為奇數時，A_n（n+a-1，0），A_n+1（n+1-a，0），所以|A_nA_n+1|=2（1-a）；
當n為偶數時，A_n（n-a，0），A_n+1（n+a，0），所以|A_nA_n+1|=2a；
過B_n作x軸的垂線，垂足為C_n，則|BnCn|=

n

4

，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1為直角三角形，必須且只須：|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|．（13分）
當n為奇數時，有2(1-a)=2×

n

4

，即a=1-

n

4

①
∴當n=1 時，a=

3

4

；當 n=3 時，a=

1

4

，當n≥5，a＜0不合題意．（15分）
當n為偶數時，有2a=2×

n

4

，a=

n

4

，同理可求得 
 當n=2 時  a=

1

2

當n≥4時，a＜0不合題意．（17分）
綜上所述，使等腰三角形A_nB_nA_n+1中，有直角三角形，a的值為

3

4

或

1

4

或

1

2

．（18分）

點評：本題主要考查了數列與幾何的綜合，同時考查了數列的通項公式，第三問是開放題，有一定的新意，屬于中檔題．