Question

（1）已知三次函數(shù)f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(a＜b)在R上單調(diào)遞增，求

a+b+c

b-a

的最小值．
（2）設(shè)f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2時(shí)，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，求b²+c²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得f'（x）=ax²+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b²-4ac≤0，將此代入

a+b+c

b-a

，將式子進(jìn)行放縮，以

b

a

為單位建立函數(shù)關(guān)系式，最后構(gòu)造出運(yùn)用基本不等式的模型使問題得到解決；
（2）因?yàn)槿魘x|≥2時(shí)，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8．在分類討論基礎(chǔ)上，將以上關(guān)系變?yōu)椴坏仁浇M，消去c可得b的取值范圍，最后將b²+c²轉(zhuǎn)化為b的函數(shù)，求其值域可得b²+c²的最大值和最小值．

解答：解：（1）由題意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，則a＞0，△=b²-4ac≤0．
∴

a+b+c

b-a

=

a2+ab+ac

ab-a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab-a2

=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

令t=

b

a

(t＞1)，

a+b+c

b-a

≥

1+t+ 1 4 t2

t-1

=

1

4

(t+2)2

t-1

=

1

4

(t-1+3)2

t-1

=

1

4

(t-1+

9

t-1

+6)≥3．（當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即b=4a=4c時(shí)取“=”）
（2）由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點(diǎn)取得，
故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8．
①若f（x）=0有實(shí)根，則△=b²-4c≥0，
在區(qū)間[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤ b 2 ≤2

即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

即b=-4，這時(shí)c=4，且△=0．
②若f（x）=0無實(shí)根，則△=b²-4c＜0，將c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
綜上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64，在[-5，-4]單調(diào)遞減，
故（b²+c²）_min=32，（b²+c²）_max=74．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)工具研究三次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題．解決本題應(yīng)注意轉(zhuǎn)化化歸思想和分類討論思想的應(yīng)用．