Question

已知三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R）為奇函數，且在點（1，f（1））的切線方程為y=3x-2
（1）求函數f（x）的表達式．
（2）已知數列{a_n}的各項都是正數，且對于?n∈N^*，都有（

n

i=1

ai）²=

n

i=1

f(ai)，求數列{a_n}的首項a₁和通項公式．
（3）在（2）的條件下，若數列{b_n}滿足b_n=4ⁿ-m•2 an+1（m∈R，n∈N^*），求數列{b_n}的最小值．

Answer 1

分析：（1）由奇函數性質得f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求得b，d，根據點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-2，可得f′（1）=3，f（1）=1，解出即可；
（2）：（

n

i=1

ai）²=

n

i=1

f(ai)，即為Sn2=a13+a23+…+an3①，令n=1可求得首項a₁，當n≥2時，a13+a23+…+an-13=Sn-12②，①-②并化簡可得an2=2S_n-a_n③，依此可得an-12=2S_n-1-a_n-1④，由③-④可得遞推式，據此可判斷數列為等差數列，從而可求得通項公式；
（3）由（2）易求得bn=4n-m•2n+1=（2ⁿ-m）²-m²（n∈N₊），令2ⁿ=t（t≥2），則b_n變為關于t的二次函數形式，在t≥2范圍內對m進行分類討論，注意t為大于等于2的正整數；

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x）恒成立，∴-ax³+bx²-cx+d=-（ax³+bx²+cx+d），
∴b=d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
∴f'（x）=3ax²+c，
∵點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-2，
∴

f′(1)=3a+c=3 f(1)=a+c=1

，解得a=1，c=0，
∴f（x）=x³；
（2）由題意可知：（

n

i=1

ai）²=

n

i=1

f(ai)，
∴Sn2=a13+a23+…+an3①，
由①式可得a13=a12，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
當n≥2時，a13+a23+…+an-13=Sn-12②，
由①-②可得：an3=Sn2-Sn-12=a_n（S_n+S_n-1），
∵數列{a_n}的各項都是正數，
∴an2=S_n+S_n-1=2S_n-a_n③，
∴an-12=2S_n-1-a_n-1④，
由③-④可得：an2-an-12=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數列{a_n}是以首項為1，公差為1的等差數列，
∴a_n=n；
（3）∵a_n=n，∴b_n=4ⁿ-m•2an+1，∴bn=4n-m•2n+1=（2ⁿ-m）²-m²（n∈N₊），
令2ⁿ=t（t≥2），∴bn=(t-m)2-m2(t≥2)，
（i）當m≤2時，數列{b_n}的最小值為當n=1時，b_n=4-4m．
（ii）當m＞2時，
①若m=2^k（k∈N₊，k≥2）時，數列{b_n}的最小值為當n=k時，b_k=-m²，
②若m=

2k+2k+1

2

(k∈N+，k≥2)時，數列{b_n}的最小值為，當n=k時或n=k+1，
bk=bk+1=(2k-m)2-m2，
③若2k＜m＜

2k+2k+1

2

（k∈N₊，k≥2）時，數列{b_n}的最小值為，當n=k時，bk=(2k-m)2-m2，
④若

2k+2k+1

2

＜m＜2k+1（k∈N₊，k≥2）時，數列{b_n}的最小值為，當n=k+1時，bk+1=(2k+1-m)2-m²．

點評：本題考查數列與函數的綜合、函數奇偶性的性質，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，能力要求較高．