Question

【題目】若數列{an}滿足:對任意n∈N*,均有an=bn+cn成立,且{bn},{cn}都是等比數列,則稱(bn,cn)是數列{an}的一個等比拆分.

（1）若an=2n,且(bn,bn+1)是數列{an}的一個等比拆分,求{bn}的通項公式;

（2）設(bn,cn)是數列{an}的一個等比拆分,且記{bn},{cn}的公比分別為q1,q2;

①若{an}是公比為q的等比數列,求證:q1=q2=q;

②若a1=1,a2=2,q1q2=﹣1,且對任意n∈N*,an+13<anan+1an+2+an+2﹣an恒成立,求a3的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①答案見解析, ②(3,7).

【解析】

（1）設數列{bn}的公比為q0,根據已知求出，即得{bn}的通項公式;（2）①由an=bn+cn,可得, 令n=1,2,3得:，對方程進行分析得q1=q2=q; ②令Tn,證明對任意n∈N*,均有Tn+1=﹣Tn成立，得，可得,解得3＜a3＜7.

（1）設數列{bn}的公比為q0,則(b1q0≠0)對任意n∈N*成立,

令n=1,2可得:,解得:,

∴,經檢驗符合題意;

（2）①由an=bn+cn,可得,

令n=1,2,3得:

(1)代入(2)得b1(q1﹣q)=c1(q﹣q2), (2)代入(3)得b1q1(q1﹣q)=c1q2(q﹣q2),

如果q1,q2不全等于q,顯然它們一定都不等于q,

因此考慮q1≠q且q2≠q的情況,此時用后式除以前式可得q1=q2,

再將其代入到a1=b1+c1,a1q=b1q1+c1q2,可得q1=q2=q,矛盾,

因此只能q1=q2=q,經驗證符合題意;

②令Tn,

則當n為偶數時,,

同理,當n為奇數時,可算的,

所以對任意n∈N*,均有Tn+1=﹣Tn成立

由Tn+1=﹣Tn可得,

因為an≠0,因此可化簡得,

所以,

要使原不等式恒成立,顯然必有an＞0,即恒成立,

而T1=4﹣a3,因此可得,解得3＜a3＜7,

綜上所述,a3的取值范圍為(3,7).