Question

【題目】已知函數.

(I)求函數f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數的底數），求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）增區間，減區間；（I）．

【解析】

（I）求導數，由于分母為正，因此對分子（設其為）再求導，以確定正負，仍不能確定其零點、極值、正負，因此再一次求導，可確定出的最值與單調性，從而可確定的單調性與零點，最終可確定的單調區間；

（II）分離常數，得，為此求出函數在上的最小值．這可利用導數知識求解．

函數的定義域是，

，

設，則，

令，則，

時，，在上為增函數，

時，，在上為減函數，

∴在處取得極大值，而，

∴，函數在上為減函數．

于是當時，，當時，，

∴當時，，為增函數，

當時，，為減函數，

故函數的增區間為，減區間為．

（II）不等式等價于不等式，由可得：

，

設，，

則，

由（I）知，即

∴，，于是在上為減函數，

故函數在上的最小值為，

所以的最大值為．