Question

【題目】定義：若一個函數存在極大值，且該極大值為負數，則稱這個函數為“函數”．

（1）判斷函數是否為“函數”，并說明理由；

（2）若函數是“函數”，求實數的取值范圍；

（3）已知，，、，求證：當，且時，函數是“函數”．

Answer 1

【答案】（1）是“函數”，理由見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數求出函數的極大值，結合題中定義判斷即可；

（2）分和兩種情況討論，利用導數分析函數的單調性，利用題中定義得出關于的不等式，進而可解得實數的取值范圍；

（3）求出函數的導數，利用導數分析函數的單調性，設函數的極值點分別為、，可知、是方程的兩根，進而可列出韋達定理，結合韋達定理證明出函數的極大值為負數，由此可證得結論.

（1）函數是“函數”，理由如下：

因為，則，

當時，；當時，，

所以函數的極大值，故函數是“函數”；

（2）函數的定義域為，.

當時，，函數單調遞增，無極大值，不滿足題意；

當時，當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

所以函數的極大值為，

易知，解得，

因此，實數的取值范圍是；

（3） ，因為，，則，

所以有兩個不等實根，設為、，

因為，所以，，不妨設，

當時，，則函數單調遞增；

當時，，則函數單調遞減.

所以函數的極大值為，

由得，

因為，，

所以

．

所以函數是“函數”．