Question

已知關于x的不等式x²-（3a+1）x+2a（a+1）＜0的解集是A，函數f(x)=

1

2-x x+1

的定義域是B，若A⊆B．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：易得對應方程的根為x₁=2a，x₂=a+1，由定義域的求法可得B=（-1，2），分a＞1，a＜1，和a=1三類進行討論即可．

解答：解：原表達式可化為：（x-2a）（x-a-1）＜0，
∴對應方程的根為：x₁=2a，x₂=a+1…（2分）
（1）當a＞1時，2a＞a+1，所以A=（a+1，2a），B=（-1，2），
∵A⊆B∴

2a≤2 a+1≥-1 a＞1

⇒

a≤1 a≥-2 a＞1

⇒a∈?…（7分）
（2）當a＜1時，2a＜a+1，所以A=（2a，a+1），B=（-1，2），
∵A⊆B∴

2a≥-1 a+1≤2 a＜1

⇒

a≥- 1 2 a≤1 a＜1

⇒-

1

2

≤a＜1…（12分）
（3）當a=1時，A=?滿足A⊆B
綜合上述：a∈[-

1

2

，1]…（13分）

點評：本題考查一元二次表達式的求解，涉及集合的運算和分類討論的思想，屬中檔題．