Question

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．
下列說法正確的有：

 

．（寫出所有正確說法的序號）
①對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個；
②g（x）=ex為函數f（x）=e^x的一個承托函數；
③函數f（x）=

x

x2+x+1

不存在承托函數；
④函數f（x）=-

1

5x2-4x+11

，若函數g（x）的圖象恰為f（x）在點P（1，-

1

12

）處的切線，則g（x）為函數f（x）的一個承托函數．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個承托函數，且有無數個，再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數；
②令h（x）=e^x-ex，利用導數研究其單調性極值與最值即可判斷出；
③函數f（x）=

x

x2+x+1

，當x=0時，f（0）=0；當x＞0時，0＜f（x）=

1

x+ 1 x +1

≤

1

2 x• 1 x +1

=

1

3

；同理當x＜0時，0＞f（x）≥-1．可得：f（x）∈[-1，

1

3

]，即可判斷出；
④f′（x）=

10x-4

(5x2-4x+11)2

，f′（1）=

1

24

，可得g（x）=

1

24

x-

1

8

．取x=2時，f（10）＜0＜g（10），即可判斷出．

解答： 解：①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個承托函數，且有無數個，再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數，∴命題①正確；
②令h（x）=e^x-ex，則h′（x）=e^x-e，令h′（x）＞0，解得x＞1，此時函數h（x）單調遞增；令h′（x）＜0，解得x＜1，此時函數h（x）單調遞減．∴當x=1時，函數h（x）取得極小值即最小值，∴h（x）≥h（1）=0，因此f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，故g（x）為函數f（x）的一個承托函數，正確．
③函數f（x）=

x

x2+x+1

，當x=0時，f（0）=0；當x＞0時，0＜f（x）=

1

x+ 1 x +1

≤

1

2 x• 1 x +1

=

1

3

；當x＜0時，0＞f（x）=

1

-(-x+ 1 -x )+1

≥-1．
綜上可得：f（x）∈[-1，

1

3

]，取g（x）=-2，即為函數f（x）的一個承托函數，因此不正確；
④f′（x）=

10x-4

(5x2-4x+11)2

，f′（1）=

1

24

，則g（x）+

1

12

=

1

24

(x-1)，化為g（x）=

1

24

x-

1

8

．取x=2時，f（10）＜0＜g（10），因此g（x）不為函數f（x）的一個承托函數．
綜上可得：只有①②正確．
故答案為：①②．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、新定義“承托函數”，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．