Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C經過點A(1，3) ，B(4，2)，且圓心在直線l：x－y－1＝0上．

（1）求圓C的方程；

（2）設P是圓D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一點，過點P作圓C的兩條切線PM，PN，M，N為切點，試求四邊形PMCN面積S的最小值及對應的點P坐標．

Answer 1

【答案】(1) x2＋y2－4x－2y＝0 (2) S最小10，P(－3，1)

【解析】試題分析：（1）設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，根據條件得，即可得解；

（2）依題意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝，當PC最小時，S最小，求PC最小即可.

試題解析：

（1）設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圓心為(－，－)．

因為圓C經過點A(1，3) ，B(4，2)，且圓心在直線l：x－y－1＝0上，

所以

解得

所求圓C的方程為x2＋y2－4x－2y＝0．

（2）由（1）知，圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5．

依題意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝×．

所以當PC最小時，S最小．

因為圓M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半徑為1．

因為C(2，1)，所以兩個圓的圓心距MC＝6．

因為點P∈M，且圓M的半徑為1，

所以PCmin＝6－1＝5．

所以Smin＝×＝10．

此時直線MC：y＝1，從而P(－3，1)．