Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為．

（）求橢圓的方程．

（）已知雙曲線的離心率是橢圓的離心率的倒數，其頂點為橢圓的焦點，求雙曲線的方程．

（）設直線與雙曲線交于， 兩點，過的直線與線段有公共點，求直線的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（）利用點在橢圓上、離心率進行求解；（）先利用雙曲線和橢圓的關系求出有關幾何量，再寫出雙曲線的方程即可；（）先聯立直線和雙曲線的方程求出點， 的坐標，再利用斜率公式求邊界直線的斜率，進而確定直線的斜率和傾斜角的取值范圍.

試題解析：（）由題意可得， ，

解得， ，

故橢圓方程為．

（）由題意可得雙曲線離心率，

，則， ，

故雙曲線方程為．

（）聯立，得，

解得或，則， ．

則，則，

即直線的傾斜角的取值范圍為.