Question

（04年全國卷Ⅱ）(12分) ．

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB＝90^o，AC＝1，CB＝，側棱AA₁＝1，側面AA₁B₁B的兩條對角線交點為D，B₁C₁的中點為M．

(Ⅰ)求證：CD⊥平面BDM；

(Ⅱ)求面B₁BD與面CBD所成二面角的大小．

Answer 1

解析：解法一：(I)如圖，連結CA₁、AC₁、CM，

則CA₁=，

∵CB=CA₁=，∴△CBA₁為等腰三角形，

又知D為其底邊A₁B的中點，∴CD⊥A₁B，

∵A₁C₁=1，C₁B₁=，∴A₁B₁=，

又BB₁=1，∴A₁B=2，

∵△A₁CB為直角三角形，D為A₁B的中點，CD=A₁B=1，CD=CC₁

又DM=AC₁=，DM=C₁M，∴△CDN≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°,即CD⊥DM，

因為A₁B、DM為平面BDM內兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM

(II)設F、G分別為BC、BD的中點，連結B₁G、FG、B₁F，

則FG∥CD，FG=CD∴FG=，FG⊥BD.

由側面矩形BB₁A₁A的對角線的交點為D,知BD=B₁D=A₁B=1，

所以△BB₁D是邊長為1的正三角形，于是B₁G⊥BD，B₁G=，

∴∠B₁GF是所求二面角的平面角

又B₁F²=B₁B²+BF²=1+()²=.

∴cos∠B₁GF=

即所求二面角的大小為π-arccos

解法二：如圖以C為原點建立坐標系

(I):B(,0,0),B₁(,1,0),A₁(0,1,1),D(,,),

M(,1,0),(,,),(,-1,-1),

(0,,-), 

∴CD⊥A₁B,CD⊥DM.

因為A₁B、DM為平面BDM內兩條相交直線，

所以CD⊥平面BDM

(II):設BD中點為G，連結B₁G，則G(-,,)，∴，∴BD⊥B₁G，又CD⊥BD，∴與的夾角等于所求二面角的平面角，

cos

所以所求二面角的大小為π-arccos