Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形， ，側面底面， ， ， ， 分別為， 的中點，點在線段上．

（1）求證： 平面；

（2）若直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值．

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）在平行四邊形中，由條件可得，進而可得。由側面底面，得底面，故得，所以可證得平面．（Ⅱ）先證明平面平面，由面面平行的性質可得平面．（Ⅲ）建立空間直角坐標系，通過求出平面的法向量，根據線面角的向量公式可得。

試題解析：

（Ⅰ）證明：在平行四邊形中，

∵， ， ，

∴，

∴，

∵， 分別為， 的中點，

∴，

∴，

∵側面底面，且，

∴底面，

又底面，

∴，

又， 平面， 平面，

∴平面．

（Ⅱ）證明：∵為的中點， 為的中點，

∴，

又平面， 平面，

∴平面，

同理平面，

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，

∴平面．

（Ⅲ）解：由底面， ，可得， ， 兩兩垂直，

建立如圖空間直角坐標系，

則， ， ， ， ， ，

所以， ， ，

設，則，

∴， ，

易得平面的法向量，

設平面的法向量為，則：

由，得，

令，得，

∵直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等，

∴，即，

∴，

解得或（舍去），

故．

點睛：用向量法確定空間中點的位置的方法

根據題意建立適當的空間直角坐標系，由條件確定有關點的坐標，運用共線向量用參數（參數的范圍要事先確定）確定出未知點的坐標，根據向量的運算得到平面的法向量或直線的方向向量，根據所給的線面角（或二面角）的大小進行運算，進而求得參數的值，通過與事先確定的參數的范圍進行比較，來判斷參數的值是否符合題意，進而得出點是否存在的結論。

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】如圖，橢圓上的點到左焦點的距離最大值是，已知點在橢圓上，其中為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點且斜率為的直線交橢圓于、兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交橢圓于另一點．證明：對任意的，點恒在以線段為直徑的圓內．

Answer 1

【答案】（1）．（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓上的點到左焦點為F的最大距離是，M（1，e）在橢圓上，建立方程組，即可求橢圓的方程；
（2）設出直線QN的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數量積，即可得到結論．

試題解析：

（1）由題可知解得∴橢圓的方程是．

（2）令， ，則， ，∴，

直線的方程為，代入整理得，

∴，∴，

∴， ，

∴，

∵， ， ，

∴對任意，點恒在以線段為直徑的圓內．