Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=emx﹣lnx﹣2．
（1）若m=1，證明：存在唯一實(shí)數(shù)t∈（ ，1），使得f′（t）=0；
（2）求證：存在0＜m＜1，使得f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）證明：m=1時(shí)，f（x）=ex﹣lnx﹣2，f′（x）=ex﹣ ，x＞0．

顯然f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f′（ ）＜0，f′（1）＞0，

故存在唯一實(shí)數(shù)t∈（ ，1），使得f′（t）=0

（2）證明：f′（x）=memx﹣ =m（emx﹣ ），

由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

由（1）．得mx0=t時(shí)，f′（x0）=0，

所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，

即f（x）的最小值為f（x0）=f（ ）=et﹣lnt+lnm﹣2，

∵et﹣ =0，∴et= ，t=﹣lnt．

于是f（x0）=f（ ）= +t+lnm﹣2，所以當(dāng)lnm＞2﹣（ +t）時(shí)，f（x）＞0．

取k=2﹣（ +t）＜0，故m∈（ek，1）時(shí)成立

【解析】（1）m=1時(shí)，化簡函數(shù)f（x）=ex﹣lnx﹣2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過f′（ ）＜0，f′（1）＞0，利用零點(diǎn)判定定理證明即可．（2）求出f′（x）=memx﹣ =m（emx﹣ ），利用由0＜m＜1得f′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由（1）得mx0=t時(shí)，f′（x0）=0，求出函數(shù)單調(diào)性以及最值，然后證明即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．