Question

【題目】將一塊圓心角為120°，半徑為20cm的扇形鋼片裁出一塊矩形鋼片，如圖有兩種裁法：使矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或者讓矩形一邊與弦AB平行，試問哪種裁法能使截得的矩形鋼片面積最大？并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：對甲種裁法分析設 ，則矩形的一邊為，一邊為，則得出面積，利用正弦函數取最值的方法求出最大面積；對乙種裁法分析設利用三角函數表示出長和，進而表示出面積，利用余弦函數取最大值的方法求出最大面積，比較看哪個面積大即可.

試題解析：如圖甲，要使矩形面積最大，則O為其一頂點且另一頂點M在弧AB上，設∠MOA＝θ，則矩形PMNO的面積S1＝20·sinθ·20cosθ＝200sin2θ，

當θ＝45°時，S1有最大值，為200cm2；

如圖乙，設∠MOA＝θ，在△OMQ中，由正弦定理得QM＝.

由圖形的對稱性知，∠AOB的平分線OC為其對稱軸，于是MN＝2OM·sin（60°－θ），

∴矩形PQMN的面積S2＝QM·MN＝

2sinθsin（60°－θ）＝ [cos(2θ－600)－cos60°]．

當θ＝30°時，S2有最大值為cm2，又∵＞200;

故用第二種方法可截得的矩形鋼片面積最大，最大面積為cm2．