Question

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C：x2＝6y與直線l：y＝kx+3交于M，N兩點．

（1）設M，N到y軸的距離分別為d1，d2，證明：d1d2為定值．

（2）y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM＝∠OPN？若存在，求以線段OP為直徑的圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2） .

【解析】

（1）設點M（x1，y1）、N（x2，y2），將直線l的方程與曲線C的方程聯立，列出韋達定理，結合距離公式可證明題中結論；（2）設P（0，b）為符合題意的點，利用兩點的斜率公式結合韋達定理計算直線PM與直線PN的斜率之和為0，得出b的值，從而證明點P的存在性．

（1）將直線l的方程與曲線C的方程聯立，消去y并整理得x2﹣6kx﹣18＝0．

設點M（x1，y1）、N（x2，y2），則x1x2＝﹣18．

從而d1d2＝|x1||x2|＝|x1x2|＝18（定值）；

（2）存在符合題意的點，證明如下：設P（0，b）為符合題意的點，直線PM、PN的斜率分別為k1、k2，

從而＝．

當b＝﹣3時，有k1+k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補．

故∠OPM＝∠OPN，所以點P（0，﹣3）符合題意．

故以線段OP為直徑的圓的方程為．