【題目】設
，函數
.
（1）求函數
的單調區間；
（2）設
，若
有兩個相異零點
，
，且
，求證：
.
【答案】（1）當
時，
的單調遞增區間是
，無單調遞減區間；當
時，的單調遞減區間是
，單調遞增區間是
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求導，分，兩種情況討論導函數正負，即得解；
（2）由
，構造
，結論
，可轉化為
，構造函數
，分析單調性研究單調性，即可證.
（1）
，
，
當時，
，函數在區間上是增函數；
當時，令，解得
，則函數在區間上是減函數，在區間
上是增函數.
綜上得：當時，函數的單調遞增區間是，無單調遞減區間；
當時，函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是.
（2）由題意得，
.
因為
，
是方程
的兩個不同的實數根，所以
，兩式相減得
，解得.
要證：，即證：
，即證：，
即證：
，
令
（因為
），則只需證
.
設，∴
；
令
，∴
，
在
上為減函數，
∴
，∴
，
在為增函數，
.
即在上恒成立，∴.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】心理學研究表明，人極易受情緒的影響，某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.
（1）在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為
；但實際上，如果前一句獲勝的話，此選手該局獲勝的概率可提升到
；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的概率則降為
，求該選手在前3局獲勝局數
的分布列及數學期望；
（2）假設選手的三局比賽結果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為
，記
為銳角
的內角，求證：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
（a為參數），在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為
.
（1）求C的普通方程和l的傾斜角；
（2）設點
，l和C交于A，B兩點，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某芯片公司為制定下一年的研發投入計劃，需了解年研發資金投入量
（單位：億元）對年銷售額
（單位：億元）的影響.該公司對歷史數據進行對比分析，建立了兩個函數模型:①
，②
，其中
均為常數，
為自然對數的底數．
現該公司收集了近12年的年研發資金投入量
和年銷售額
的數據，
，并對這些數據作了初步處理，得到了右側的散點圖及一些統計量的值．令
，經計算得如下數據：
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（1）設
和
的相關系數為
，
和
的相關系數為
，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
（2）（i）根據（1的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額需達到90億元，預測下一年的研發資金投入量是多少億元？
附：①相關系數
，回歸直線
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
；
② 參考數據：
，
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），曲線
的方程為
.以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.交于
，
兩點（在軸上方），交極軸于點
（異于極點
）.
（1）求的直角坐標方程和的直角坐標；
（2）若
為
的中點，
為上的點，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F是BC的中點
（1）求證：EF∥平面A1DC1；
（2）若長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，夾在平面A1DC1與平面B1EF之間的幾何體的體積為
，求點D到平面B1EF的距離.
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