Question

【題目】已知兩定點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且,記的軌跡是

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)引直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

設(shè)，根據(jù)條件列方程化簡(jiǎn)即可；（2）先探究特殊性，當(dāng)點(diǎn)Q為橢圓的上頂

點(diǎn)（0，）時(shí)，直線RN過(guò)定點(diǎn)P(4,0).再討論一般情形，設(shè)直線l:點(diǎn)R,N,P三點(diǎn)共線，因此直線RN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4,0).

（1）設(shè)，，，

則，，

由于，

即，設(shè)，，

則，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，

故，，，

所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：．

如圖所示，

先探究特殊性，當(dāng)點(diǎn)Q為橢圓的上頂點(diǎn)（0，）時(shí)，直線l:,

聯(lián)立直線和橢圓方程得,

直線RN:令y=0,得x=4,

所以直線RN過(guò)定點(diǎn)P(4,0).

下面證明一般情形：

設(shè)直線l:

聯(lián)立，

判別式

所以

即，

設(shè)，于是，

，

又，

解得，

所以，

所以點(diǎn)R,N,P三點(diǎn)共線，因此直線RN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4,0).

綜上，直線RN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(4,0).