Question

【題目】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點是F，直線y＝2與拋物線C的交點到F的距離等于2．

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點（2，0）斜率為k的直線l交拋物線C于A、B兩點，O為坐標原點，直線AO與直線x＝﹣2相交于點P，求證：BP∥x軸．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）見解析

【解析】

（1）求出直線y＝2與拋物線C的交點的橫坐標，應用焦半徑公式，即可求解；

（2）設出直線l的方程，與拋物線方程聯立，建立A、B縱坐標關系，再利用三點共線，求出縱坐標關系，即可證明結論.

（1）由題意得直線與拋物線的交點坐標：（，2），

所以2 且p＞0解得：p＝2，

所以拋物線C的方程：y2＝4x；

（2）由題意得：直線l的斜率不為零，

設直線l的方程：x＝my+2，

代入拋物線方程得：y2﹣4my﹣8＝0，

設A（x0，y0），B（x'，y'），y0y'＝﹣8，y'，

所以B（x'，），直線OA的方程：yxx，

與x＝﹣2的交點P（﹣2，），

BP∥x軸．