Question

如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD的中點．

(1)證明：PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析   （2）

(1)證明　以H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)，
設C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，
則D(0，m,0)，E(，，0)．
可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．
因為·＝－＋0＝0，
所以PE⊥BC．

(2)解　由已知條件可得m＝－，n＝1，
故C(－，0,0)，D(0，－，0)，
E(，－，0)，P(0,0,1)，
設n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，
則，
因此可以取n＝(1，，0)，
由＝(1,0，－1)．
可得|cos〈，n〉|＝，
所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為．