Question

如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，且側棱垂直于底面，側棱長是，D是AC的中點。

（1）求證：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

試題分析：（1）由題意及題中P為AB1中點和D為AC中點，中點這樣信息，得到線線PD∥B1C平行，在利用PD∥平面A1BD線面平行，利用線面平行的判定定理得到線面B1C∥平面A1BD平行；
（2）有正三棱柱及二面角平面角的定義，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大小；
（3）利用條件及上兩問的證題過成找到∠APM就是直線A1B與平面A1BD所成的線面角，然后再三角形中解出即可．
試題解析：解法一：

（1）設與相交于點P，連接PD，則P為中點     1分
D為AC中點，PD//，                   3分
又PD平面D，//平面D         4分
（2）正三棱住， 底面ABC，又BDAC，BD，就是二面角的平面角     6分
=，AD=AC=1，tan =
=, 即二面角的大小是        8分
（3）由（2）作AM，M為垂足                 9分
BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=AC
BD平面，AM平面，BDAM
又BD = D，AM平面，                10分
連接MP，則就是直線與平面D所成的角      11分
=，AD=1，在RtD中，=，
，，
直線與平面D所成的角的正弦值為      13分
解法二：
（1）同解法一        4分
（2）如圖建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）=（1，，），=（1，0，）    5分
設平面的法向量為n=（x，y，z）
則n
n，則有，得n=（，0，1） 6分
由題意，知=（0，0，）是平面ABD的一個法向量.
設n與所成角為，則，    7分
又，，即二面角的大小是      8分
（3）由已知得=（1，，）, n=（，0，1）         9分
則             12分
直線與平面D所成的角的正弦值為             13分