Question

(本小題共13分)
已知數列的前項和為,且.
數列滿足()，且，.
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）設，數列的前項和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數的值；
（Ⅲ）設是否存在，使得 成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）當時, 
當時, .
而當時,
∴
又即，
∴是等差數列，又，，解得．
∴．                                  ---------------- 4分
（Ⅱ）
∴……
∵
∴單調遞增，故．
令，得，所以.           ---------------- 9分
（Ⅲ）
（1）當為奇數時，為偶數，
∴，．
（2）當為偶數時，為奇數，
∴，（舍去）．
綜上，存在唯一正整數，使得成立．   ----------1 3分

解析