Question

設A、B是橢圓3x²+y²=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點．
（Ⅰ）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；
（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解法一：設直線AB的方程為y=k（x-1）+3，代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0，然后結合題設條件由根與經數的關系和根的判別式能夠求出直線AB的方程．
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有⇒3 （x₁-x₂） （x₁+x₂）+（y₁-y₂）=0．∴k_AB=-．∵N（1，3）是AB的中點∴k_AB=-1．由此能夠求出直線AB的方程．
（Ⅱ）解法一：由題意知直線CD的方程為x-y+2=0代入橢圓方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．由弦長公式可得|CD|=•|x₃-x₄|=．將直線AB的方程x+y-4=0代入橢圓方程得4x²-8x+16-λ=0．同理可得|AB|=•|x₁-x₂|=．由此可以推出存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點在同一個圓上．
解法二：由題高設條件可知λ＞12，直線CD的方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．將直線AB的方程x+y-4=0代入橢圓方程整理得4x²-8x+16-λ=0，由此通過計算知•=0，∴A在以CD為直徑的圓上．又B為A關于CD的對稱點，∴A、B、C、D四點共圓．
解答：解：（Ⅰ）解法一：依題意，可設直線AB的方程為y=k（x-1）+3，
代入3x²+y²=λ，整理得：（k²+3）x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0①
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁，x₂是方程①的兩個不同的根，
∴△=4[λ（k²+3）-3（k-3）²]＞0，②
且x₁+x₂=．由N（1，3）是線段AB的中點，得x₁+x₂=2，
∴k（k-3）=k²+3解得k=-1，代入②得λ＞12，
即λ的取值范圍是（12，+∞）．
于是直線AB的方程為y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有⇒3 （x₁-x₂） （x₁+x₂）+（y₁-y₂）=0．
依題意，x₁≠x₂，∴k_AB=-．
∵N（1，3）是AB的中點，∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=6，從而k_AB=-1．
又由N（1，3）在橢圓內，∴λ＞3×1²+3²=12，
∴λ的取值范圍是（12，+∞）．
直線AB的方程為y-3=-（x-1），即x+y-4=0．
（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，
∴直線CD的方程為y-3=x-1，即x-y+2=0代入橢圓方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．③
又設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），CD的中點為M（x，y），
則x₃，x₄是方程③的兩根，
∴x₃+x₄=-1，且x==-，y=x+2=，即M（，）
于是由弦長公式可得|CD|=•|x₃-x₄|=．④
將直線AB的方程x+y-4=0代入橢圓方程得4x²-8x+16-λ=0．⑤
同理可得|AB|=•|x₁-x₂|=．⑥
∵當λ＞12時，＞，
∴|AB|＜|CD|．
假設存在λ＞12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心．
點M到直線AB的距離為d===．⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得|MA|²=|MB|²=d²+=+==．
故當λ＞12時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，||為半徑的圓上．
（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：
A、B、C、D共圓?ACD為直角三角形，A為直角?|AN|²=|CN|•|DN|，
即=（||+d）（||-d）．⑧
由⑥式知，⑧式左邊=，
由④⑦知，⑧式右邊=（+）（-）=-=．
∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓．）
解法二：由（Ⅱ）解法一知λ＞12，
∵CD垂直平分AB，
∴直線CD的方程為y-3=x-1，代入橢圓方程，整理得4x²+4x+4-λ=0．③
將直線AB的方程x+y-4=0代入橢圓方程整理得4x²-8x+16-λ=0．⑤
解③和⑤式可得x_1，2=，x_3，4=，
不妨設A（1+，3-），
C（，），D（，）．
∴=（，），
=（，），
計算可得•=0，
∴A在以CD為直徑的圓上．
又B為A關于CD的對稱點，
∴A、B、C、D四點共圓．
點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關系，難度較大，解題時要仔細審題，注意公式的靈活運用．