Question

已知點F是拋物線C：y²=x的焦點，S是拋物線C在第一象限內的點，且|SF|=

5

4

．
（Ⅰ）求點S的坐標；
（Ⅱ）以S為圓心的動圓與x軸分別交于兩點A、B，延長SA、SB分別交拋物線C于M、N兩點；
①判斷直線MN的斜率是否為定值，并說明理由；
②延長NM交x軸于點E，若|EM|=

1

3

|NE|，求cos∠MSN的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已知得F(

1

4

，0)，則|SF|=x0+

1

4

=

5

4

，x0=1，由此能求出點S的坐標．
（Ⅱ）①設直線SA的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），由

y-1=k(x-1) y2=x

，得ky²-y+1-k=0，所以M(

(1-k)2

k2

，

1

k

-1)．由已知SA=SB，知直線SB的斜率為-k，由此能導出直線MN的斜率為定值-

1

2

．
②設E（t，0），由|EM|=

1

3

|NE|，知k=2．所以直線SA的方程為y=2x-1，則A(

1

2

，0)，同理B(

3

2

，0)．由此能求出cos∠MSN的值．

解答：解：（Ⅰ）設S（x₀，y₀）（y₀＞0），由已知得F(

1

4

，0)，則|SF|=x0+

1

4

=

5

4

，x0=1，
∴y₀=1，∴點S的坐標是（1，1）------------------------（2分）
（Ⅱ）①設直線SA的方程為y-1=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），
由

y-1=k(x-1) y2=x

得ky²-y+1-k=0，
∴y1+1=

1

k

，y1=

1

k

-1，∴M(

(1-k)2

k2

，

1

k

-1)．
由已知SA=SB，∴直線SB的斜率為-k，∴，
∴kMN=

1 k -1+ 1 k +1

(1-k)2 k2 - (1+k)2 k2

=-

1

2

--------------（7分）
②設E（t，0），∵|EM|=

1

3

|NE|，∴

EM

=

1

3

EN

，
∴(

(1-k)2

k2

-t，

1

k

-1)=

1

3

(

(1+k)2

k2

-t，-

1

k

-1)，則

1

k

-1=

1

3

(-

1

k

-1)，∴k=2----------------（8分）
∴直線SA的方程為y=2x-1，則A(

1

2

，0)，同理B(

3

2

，0)
∴cos∠MSN=cos∠ASB=

SA2+SB2-AB2

2SA•SB

=

3

5

---------------------------（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．