Question

（本題滿分14分）已知函數 的定義域為．
（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）探究是否是上的單調函數？若是，請證明；若不是，請說明理由； （Ⅲ）求證：，（其中為自然對數的底數）．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

（Ⅰ）由題意得關于的不等式的解集是區間，
則是方程的根，因此。
經檢驗時，函數 的定義域為．
即符合題意．…………3分
（Ⅱ） ，設，
則， ……5分
令，則
即是上的減函數……7分所以當時，=0，則<0．
因此是（0,上的減函數，而是（0,上的減函數，則是上的單調增函數……9分
（Ⅲ）先證不等式 （成立．
設 （，則，
即是（0，上的減函數，所以，因此……11分
取得不等式，
即，則……13分
所以…………14分