Question

【題目】如圖，已知直線交拋物線于、兩點（點在點左側），過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使得直線與拋物線在點處的切線平行，設直線與拋物線交于、兩點．

（1）記直線、的斜率分別為、，證明：；

（2）若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）設，，，利用導數的幾何意義及直線的斜率公式求解；

（2）根據及，可得，表示出、，再表示出，得到，設線段的中點為，求出，最后根據的中點與點的連線平行于軸，得，從而得結果．

（1）由得，，則．

設點，由導數的幾何意義知，直線的斜率為．

由題意知點．設點、，

則，即．

因為，，

所以；

（2）由且可知，，

不妨設點在上方，則，

直線的方程為．

由，得點的坐標為．

所以，同理可得．

所以，得．

設線段的中點為，

則點的坐標為，即，

連接，易知，

所以．