Question

【題目】在黨中央的英明領導下，在全國人民的堅定支持下，中國的抗擊“新型冠狀肺炎”戰役取得了階段性勝利，現在擺在我們大家面前的是有序且安全的復工復產.某商場為了提振顧客的消費信心，對某中型商品實行分期付款方式銷售，根據以往資料統計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數ξ的分布列為

其中0＜a＜1，0＜b＜1.

（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；

（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為X（單位：元），

（i）設X＝5500時的概率為m，求當m取最大值時，利潤X的分布列和數學期望；

（ii）設某數列{xn}滿足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值.

Answer 1

【答案】（1）0.432（2）（i）詳見解析（ii）2

【解析】

（1）方法1：設恰有一位顧客選擇分4期付款的概率為P.由題可知：a+b＝0.6，然后求解即可.

方法2：由于3位顧客中恰有1位選擇“分4期付款”，則另外兩位均不選“分4期付款”，利用相互獨立事件乘法乘積求解概率即可.

（2）（ⅰ）由題可得X的值分別為4000，4500，5000，5500，6000.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.

（ⅱ）由題可得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，得到，判斷數列{xn﹣0.2}是等比數列，然后分類求解n的最小值.

（1）方法1：設恰有一位顧客選擇分4期付款的概率為P.

由題可知：a+b＝0.6，

則P＝3×0.4×（a2+2ab+b2）＝0.4×（a+b）2＝0.4×0.62＝0.432.

方法2：由于3位顧客中恰有1位選擇“分4期付款”，則另外兩位均不選“分4期付款”，所以P＝3×0.4×（1﹣0.4）×（1﹣0.4）＝0.432.

（2）（�。┯深}可得X的值分別為4000，4500，5000，5500，6000.

P（X＝4000）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝4500）＝2×0.4×a＝0.8a，

P（X＝5000）＝a2+2×0.4×b＝a2+0.8b，

P（X＝5500）＝2ab，P（X＝6000）＝b2，

所以，

取最大值的條件為a＝b＝0.3

所以分布列為：

∴E（X）＝4000×0.16+4500×0.24+5000×0.33+5500×0.18+6000×0.09＝4900.

（ⅱ）解：由題可得xn+2xn+1＝a+b＝0.6，所以，

化簡得，即{xn﹣0.2}是等比數列，首項為x1﹣0.2＝0.2，公比為，

所以，化簡得

由題可知：

①由題可知：，顯然對所有n∈N*都成立；

②，也是對所有n∈N*都成立；

③.

當n為偶數時，上述不等式恒成立；

當n為奇數時，，解得n＞3.即n≥5

綜上所述，n的最小值為2.