Question

已知拋物線y²=8x與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦點F，且橢圓過點D（-

2

，

3

）．
（1）求橢圓方程；
（2）過橢圓的上頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于另外一點P、Q，試問直線PQ是否經過定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c=2 2 a2 + 3 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設直線AP的方程為y=kx+2（k≠0），由方程組

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+2

，得（2k²+1）x²+8kx=0，x_P=

-8k

2k2+1

，y_P=

2-4k2

2k2+1

．用-

1

k

代替上面的k，可得x_Q=

8k

k2+2

，y_Q=

2k2-4

k2+2

．由此能求出直線PQ經過定點（0，-

2

3

）．

解答： 解：（1）∵拋物線y²=8x與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦點F（2，0），
且橢圓過點D（-

2

，

3

），
∴

c=2 2 a2 + 3 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=8，b²=4，
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設直線AP的方程為y=kx+2（k≠0），
由方程組

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+2

，得（2k²+1）x²+8kx=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁=

-8k

2k2+1

，x₂=0，
所以x_P=

-8k

2k2+1

，y_P=

2-4k2

2k2+1

．
用-

1

k

代替上面的k，可得x_Q=

8k

k2+2

，y_Q=

2k2-4

k2+2

．
∴直線PQ：y-

2-4k2

1+2k2

=

k2-1

3k

(x-

-8k

1+2k2

)，
由x=0，得y=

2-4k2

1+2k2

-

k2-2

3k

•

-8k

1+2k2

=-

2

3

，
∴直線PQ經過定點（0，-

2

3

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否過定點的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．