Question

（2009•崇明縣一模）設函數f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（1）求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設A，B，C為△ABC的三個內角，f(

C

2

)=-

1

4

，且C為銳角，S△ABC=5

3

，a=4，求c邊的長．

Answer 1

分析：（1）先根據兩角和的余弦公式以及二倍角公式對函數解析式進行整理得到f（x）=

1

2

-

3

2

sin2x；再結合正弦函數的最值以及周期的求法即可得到結論；
（2）先根據條件求出sinC=

3

2

，再結合C為銳角，得到cosC=

1

2

；最后根據三角形的面積公式求出b；再代入余弦定理即可求出c邊的長．

解答：解：（1）f(x)=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x
所以T=

2π

ω

=π；
當x=kπ-

π

4

(k∈Z)時，fmax(x)=

1

2

+

3

2

．
（2）由f(

C

2

)=-

1

4

得，

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

；
所以sinC=

3

2

，C為銳角，故cosC=

1

2

；
S△=

1

2

absinC，a=4，所以b=5
所以：c²=a²+b²-2abcosC
=21
故c=

21

．

點評：本題主要考查三角函數的周期性及其求法以及二倍角的余弦和余弦定理的應用．解決這類問題的關鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用．