Question

直三棱柱ABC-A₁B₁ C₁的六個頂點都在球O的球面上．若AB=BC=2，∠ABC=90°，AA₁=2

2

，則球O的表面積為（　　）

A．4π

B．8π

C．24π

D．16π

Answer 1

分析：根據題意，可得AB、BC、BB₁兩兩互相垂直．因此直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球，就是以AB、BC、BB₁為長、寬、高的長方體的外接球，根據長方體的對角線公式算出球的直徑，再利用球的表面積公式加以計算，可得球O的表面積．

解答：解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，
∴AB、BC、BB₁兩兩互相垂直．
因此，以AB、BC、BB₁為長、寬、高作長方體，
該長方體的外接球經過直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點．
∵長方體的對角線長等于

AB2+BC2+BB12

=

22+22+(2 2 )2

=4．
∴長方體的外接球直徑2R=4，得R=2．
由此可得外接球的表面積為S=4πR²=16π．
故選：D

點評：本題給出特殊的三棱柱，求它的外接球的表面積．著重考查了直三棱柱的性質、長方體的對角線公式和球的表面積計算等知識，屬于中檔題．