Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點，則我們知道

1

|AF|

+

1

|BF|

為定值，請寫出關于橢圓的類似的結論：

 

，當橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1時，

1

|AF|

+

1

|BF|

=

 

．

Answer 1

分析：由類比推理，來得到關于橢圓的類似結論，易知在橢圓中有“

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2a

b2

”求解即可．

解答：解：已知拋物線y²=2px（p＞0），過焦點F的動直線l交拋物線于A、B兩點，則我們知道

1

|AF|

+

1

|BF|

為定值，
關于橢圓的類似的結論：過橢圓的焦點F的動直線交橢圓于A、B兩點，則

1

|AF|

+

1

|BF|

為定值
已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），過焦點F的動直線l交橢圓于A、B兩點，
則

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2a

b2

為定值．當橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1時，

1

|FA|

+

1

|FB|

=

4

3

．
故答案為：過橢圓的焦點F的動直線交橢圓于A、B兩點，則

1

|AF|

+

1

|BF|

為定值；

4

3

點評：本題主要考查類比推理，可以先猜測在拋物線中成立的命題在橢圓里面也成立．再計算在這個具體的橢圓里面所求的定值．關于橢圓的一個恒等式：“

1

|AF|

+

1

|BF|

=

2a

b2

”是一個經常用到的式子，在以后的學習過程中希望大家多總結．