Question

如圖，已知直線l與頂點在原點O，焦點在y軸的正半軸上的拋物線C相交于A，B兩點，且OA⊥OB，垂足D的坐標為（1，2）．
（1）求直線l的方程；
（2）求拋物線C的方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意OD⊥AB且D的坐標為（1，2），求出OD的斜率，由兩條直線垂直的條件求出直線l的斜率，代入點斜式方程再化為一般式方程；
（2）由題意設拋物線的方程是x²=2py（p＞0）和點A、B的坐標，聯立直線l的方程消去y，利用韋達定理求出x₁+x₂和x₁x₂，由OA⊥OB得

OA

•

OB

=0，利用向量的數量積運算化簡，列出關于p的方程求解即可．

解答： 解：（1）由題意得，OD⊥AB，且D的坐標為（1，2），
則OD的斜率是2，所以直線l的斜率是-

1

2

，
所以直線l的方程是y-2=-

1

2

(x-1)，即x+2y-5=0；
（2）設拋物線的方程是x²=2py（p＞0），且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x+2y-5=0 x2=2py

得，x²+px-5p=0，
則△=p²+20p＞0，且x₁+x₂=-p，x₁x₂=-5p，
因為OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，
則x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+

x12x22

4p2

=0，
所以-5p+

25p2

4p2

=0，解得p=

5

4

，
所以拋物線的方程是x²=

5

2

y．

點評：本題考查直線、拋物線的方程，垂直問題轉化為兩條直線垂直的條件、向量的數量積問題，以及韋達定理的應用，直線與圓錐曲線的關系．