Question

已知數列，滿足，，，．
（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，對于任意給定的正整數，是否存在正整數，()，使得，，成等差數列？若存在，試用表示，；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1），（2）當時，不存在，滿足題設條件；當時，存在，，滿足題設條件．

試題分析：（1）求證數列是等差數列，就是確定為一個常數.因此首先得到關于與的關系式，因為，所以，則，然后按提示，將所求關系式進行變形，即取倒數，得：，又，所以，故是首項為，公差為的等差數列，即，所以.（2）先明確數列，由(1)得，所以，然后假設存在，得一等量關系：若，，成等差數列，則，如何變形，是解題的關鍵，這直接影響解題方向.題中暗示，用p表示，所以由得：.令得，因為要，所以分情況討論，當時，，，，成等差數列不成立．當時，，，即．
試題解析：（1）因為，所以，
則，                  2分
所以，
又，所以，故是首項為，公差為的等差數列，       4分
即，所以．                         6分
（2）由（1）知，所以，
①當時，，，，
若，，成等差數列，則（），
因為，所以，，，，
所以（）不成立．                                                   9分
②當時，若，，成等差數列，
則，所以，
即，所以，                       12分
欲滿足題設條件，只需，此時，                 14分
因為，所以，，
即．                                                           15分
綜上所述，當時，不存在，滿足題設條件；
當時，存在，，滿足題設條件．  16分